Browsing by Author "Grzelec, Igor"

Now showing 1 - 4 of 4

Access status: Open Access ,
Local irregularity conjecture for 2-multigraphs versus cacti
(Wydawnictwa AGH, 2024) Grzelec, Igor; Woźniak, Mariusz
A multigraph is locally irregular if the degrees of the end-vertices of every multiedge are distinct. The locally irregular coloring is an edge coloring of a multigraph $G$ such that every color induces a locally irregular submultigraph of $G$. A locally irregular colorable multigraph $G$ is any multigraph which admits a locally irregular coloring. We denote by $\textrm{lir}(G)$ the locally irregular chromatic index of a multigraph $G$, which is the smallest number of colors required in the locally irregular coloring of the locally irregular colorable multigraph $G$. In case of graphs the definitions are similar. The Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs claims that for every connected graph $G$, which is not isomorphic to $K_2$, multigraph $^{2}G$ obtained from $G$ by doubling each edge satisfies $\textrm{lir}(^2G)\leq 2$. We show this conjecture for cacti. This class of graphs is important for the Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs and the Local Irregularity Conjecture which claims that every locally irregular colorable graph $G$ satisfies $\textrm{lir}(G)\leq 3$. At the beginning it has been observed that all not locally irregular colorable graphs are cacti. Recently it has been proved that there is only one cactus which requires 4 colors for a locally irregular coloring and therefore the Local Irregularity Conjecture was disproved.
Access status: Open Access ,
Lokalna nieregularność grafów, multigrafów i digrafów
(Data obrony: 2026-01-16) Grzelec, Igor
Wydział Matematyki Stosowanej
W pracy zajmujemy się zagadnieniami związanymi z lokalną nieregularnością grafów. Mówimy, że graf jest lokalnie nieregularny, jeśli każde dwa sąsiednie wierzchołki mają różne stopnie. Praca dotyczy zarówno hipotez dla których znane są już częściowe rezultaty, jak na przykład hipotezy o lokalnej nieregularności grafów, czy też hipotezy (2,2), jak i nowych postawionych niedawno w pracach mojego współautorstwa. W pierwszej części stawiamy hipotezę o rozkładnie multigrafu powstałego z grafu G przez podwojenie wszystkich krawędzi G na dwa multigrafy lokalnie nieregularne i dowodzimy ją dla wybranych klas grafów. Ponadto zajmujemy się ograniczeniami górnymi na liczbę lokalnie nieregularnych multigrafów występujących w rozkładzie dowolnego takiego multigrafu i wybranych klas multigrafów. W następnej części dowodzimy wzmocnioną wersję hipotezy (2,2), dla wybranych klas grafów. W kolejnej części pracy formujemy nowy problem dotyczący lokalnej nieregularności grafów związany z hipotezą (2,2) i hipotezą o lokalnej nieregularności grafów, jak również prezentujemy jego częściowe rozwiązanie. W ostatniej części rozważamy dwa nowe sposoby definiowania lokalnie nieregularnego digrafu, formujemy dwie hipotezy dotyczące rozkładów digrafów na digrafy lokalnie nieregularne i dowodzimy szereg rezultatów dla poparcia tych hipotez.
Access status: Open Access ,
On uniqueness of packing of three copies of 2-factors
(Wydawnictwa AGH, 2025) Grzelec, Igor; Madaras, Tomáš; Onderko, Alfréd
The packing of three copies of a graph $G$ is the union of three edge-disjoint copies (with the same vertex set) of $G$. In this paper, we completely solve the problem of the uniqueness of packing of three copies of 2-regular graphs. In particular, we show that $C_3,C_4,C_5,C_6$ and $2C_3$ have no packing of three copies, $C_7,C_8,C_3 \cup C_4, C_4 \cup C_4, C_3 \cup C_5$ and $3C_3$ have unique packing, and any other collection of cycles has at least two distinct packings.
Access status: Restricted ,
Zupełność przestrzeni metrycznych
(Data obrony: 2019-07-08) Grzelec, Igor
Wydział Matematyki Stosowanej