Dynamika układów dyssypatywnych z osobliwościami trajektorii

Abstract

Praca koncentruje się na modelowym układzie trących powierzchni. Jedna z powierzchni - podłoże jest nieruchoma i nie podlega żadnym zmianom. Druga powierzchnia reprezentowana jest przez punkt materialny o masie m zwany bloczkiem, lub przez cały układ takich bloczków. Do każdego bloczka dostarczana jest energia z mechanizmu ciągnącego, poruszającego się ze stałą prędkością. Dyssypacja energii odbywa się poprzez tarcie pomiędzy bloczkami a podłożem. Wyniki pracy można podzielić na odnoszące się do dwu modeli: Rice'a-Ruiny i Burridge'a-Knopoffa. W modelu Burridge'a-Knopoffa współczynnik tarcia zależy wyłącznie od prędkości bloczka, natomiast w modelu Rice'a-Ruiny siła tarcia jest zależna od dwu zmiennych: prędkości bloczka oraz parametru określającego stan powierzchni styku ciał. Celem wprowadzenia tego parametru jest uwzględnienie w modelu zjawiska polegającego na zwiększaniu się współczynnika tarcia wraz z czasem spoczynku ciał. Jednym z zadań było sprawdzenie, czy obserwowana doświadczalnie bifurkacja Hopfa może być odtworzona w modelu Rice'a-Ruiny. Wykonane w tym celu obliczenia analityczne i numeryczne nie potwierdzają istnienia bifurkacji Hopfa w najprostsze wersji modelu, nie odtwarza ona również periodycznych oscylacji prędkości, obserwowanych eksperymentalnie. Jednak oba modele pozwalają na opis utraty stabilności ruchu jednostajnego, gdy zmieniają się parametry modelu: stała sprężystości połączenia układu z mechanizmem ciągnącym lub jego prędkość. Wymieniona wyżej nieciągłość manifestuje się jako ruch tzw. stick-slip, zwany też drganiami ciernymi. Druga część pracy dotyczy modelu Burridge'a-Knopoffa. W układzie wykryto ruch okresowy, quasi-okresowy, jak również chaotyczny. Dla pewnych wartości parametrów stwierdzono występowanie synchronizacji pomiędzy bloczkami. Jest ono powiązane z okresowym bądź quasi-okresowym charakterem ruchu układu, co pozwala na obserwację różnych modów ruchu. Kolejnym wynikiem jest wykrycie zależności występowania modów nie jedynie od parametrów równań, lecz także od stanów początkowych, którymi były położenia i prędkości poszczególnych bloczków. Zależność od stanu początkowego zaobserwowano także dla fazy chaotycznej. W pracy wyliczono także zależności amplitudy i okresu ruchu stick-slip dla modelu składającego się jednego bloczka, oraz porównano te rezultaty z literaturowymi wynikami eksperymentalnymi. Porównanie to pozwoliło wyliczyć niektóre parametry rzeczywistej funkcji siły tarcia zależnej od prędkości. Istotnym wynikiem pracy jest wprowadzenie i przetestowanie przybliżonej metody semi-analitycznej, w której nieliniowe równania ruchu między punktami osobliwymi są przybliżane równaniami liniowymi. Pozwala to na analityczne obliczenie odcinków trajektorii pomiędzy kolejnymi osobliwościami. W danym przypadku ta modyfikacja algorytmu pozwoliła na skrócenie czasu obliczeń o cztery rzędy wielkości. Wyniki wskazują, że tak otrzymana dynamika modelowa jest dobrym przybliżeniem rzeczywistego zachowania układu.