Gauss quadrature evaluation for the signal analysis

Abstract

Częścią przetwarzania sygnału jest zamiana sygnału zdefiniowanego w dziedzinie czasu na sygnał zdefiniowany w dziedzinie częstotliwości. Pozwala to na uzyskanie widma sygnału oraz jego ewentualną wizualizację. Zamiany tej możemy dokonać m.in. za pomocą rozwinięcia funkcji ciągłej lub dyskretnej w szereg Fouriera. Do konstrukcji szeregu Fouriera konieczne jest obliczanie jego współczynników. Można je obliczyć za pomocą całkowania numerycznego - za pomocą kwadratur. Niniejszy artykuł zawiera analizę dokładności obliczania współczynników szeregu Fouriera pięciu podstawowych, deterministycznych sygnałów wziętych z praktycznych zastosowań. Charakterystyki tych sygnałów stanowią wyzwanie dla dwóch, diametralnie różnych metod całkowania numerycznego: zmodyfikowanej metody prostokątów oraz kwadratury Gaussa-Legendre'a. Punktem odniesienia, jeśli chodzi o dokładność, były wyniki uzyskane za pomocą FFT. Dekompozycja elementarnych sygnałów oraz analiza błędów obliczania współczynników szeregu Fouriera miała pozwolić autorowi na znalezienie typowych kształtów sygnałów występujących w rzeczywistym świecie, do których zastosowanie kwadratur Gaussa może być lepszym rozwiązaniem ze względu na większą dokładność obliczeń oraz mniejszą złożoność obliczeniową (zmniejszona liczba miejsc próbkowania) jak FFT.

Part of the signal processing is to convert the signal specified in the time domain into the signal specified in the frequency domain. It allows to obtain the signal spectrum and its possible visualization. This conversion can be done by decomposing a continuous or discrete function in the Fourier series. To construct the Fourier series it is necessary to calculate their coefficients. We can calculate the coefficients numerically using quadratures. This paper provides an analysis of the calculation accuracy of the coefficients of the Fourier Series of five elementary, deterministic signals used in practical applications which should build a challenge by their characteristics for two, quiet differ from each other methods of numerical integration: Newton Cotes' Midpoint Rule and the Gauss-Legendre Quadrature. Additionally - the Fast Fourier Transform - the FFT was used as the point of reference concerning the accuracy. By decomposing elementary signals and analyse the accuracy of the calculated coefficients the author wished to find the basic types of real world signals for which the application of Gauss Quadratures may be smarter solution due to better accuracy and lesser computational complexity (by the means of radically reduced amount of the sample points) than the FFT.