Numerical model for dendrite growth - an application of the Rank Controlled Differential Quadrature method

Abstract

Rank Controlled Differential Quadrature (RCDQ) is an innovative method for numerical approximation of problems described by Partial Differential Equations (PDEs). In this paper the authors apply the RCDQ for the numerical simulation of a simplified model for dendrite growth during Al-Ti alloy crystallization. The authors put most concern on building an accurate numerical model for this phenomenon. In the simplified model the symmetry and flux on boundary condition appears. Additionally, dendrite tip growth into adjacent liquid change the computation domain size, what indicates a need for node coordinate recalculation during each new time step. The authors analyze the results of numerical modelling of alloying element concentration and dendrite growth rate. The modelling results shows that the RCDQ method can be used for modelling problems with moving grid and that the method approximation proposed by the authors is proper.

Metoda kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu (KRSR) jest innowacyjną metodą numeryczną, która znajduje zastosowanie podczas rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych (RRCz). Autorzy stosują metodę KRSR do numerycznej symulacji wzrostu dendrytu podczas krystalizacji stopu dwuskładnikowego Al-Ti. Szczególną uwagę zwrócono na budowę dokładnego modelu numerycznego opisującego analizowane zjawisko. W modelu matematycznym pojawia się warunek brzegowy symetrii oraz warunek opisujący strumień masy na brzegu dziedziny. Wierzchołek dendrytu rośnie w kierunku otaczającej cieczy. Skutkuje to zmianą rozmiaru dziedziny obliczeniowej. Po realizacji obliczeń w każdym kroku czasowym współrzędne punktów dyskretnych muszą być wyznaczane ponownie. Wyniki modelowania pozwalają na stwierdzenie, iż metoda KRSR może być stosowana do rozwiązywania problemów z ruchomą siatką dyskretną, a metoda aproksymacji poszczególnych pochodnych w RRCz, zaproponowana przez autorów, prowadzi do rozwiązań wysokiej dokładności.