Browsing by Subject "algebra Liego"
Now showing 1 - 7 of 7
- Results Per Page
- Sort Options
Item type:Thesis, Access status: Restricted , Druga strategia całkowania równań różniczkowych rzędu drugiego dopuszczających dwuwymiarową algebrę Liego(Data obrony: 2010-07-05) Pogodzińska, Anna
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Thesis, Access status: Restricted , Klasa równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego dopuszczających grupę przesunięć i grupę scalingową(Data obrony: 2012-07-04) Sanecka, Patrycja; Szabelski, Sebastian
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Thesis, Access status: Restricted , Klasa równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego dopuszczających grupę przesunięć i grupę scalingową(Data obrony: 2012-07-04) Szabelski, Sebastian; Sanecka, Patrycja
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Thesis, Access status: Restricted , Pierwsza strategia całkowania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego dopuszczających dwuwymiarową algebrę Liego(Data obrony: 2010-07-05) Szuber, Marcelina
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Thesis, Access status: Restricted , Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego, dopuszczające grupę przesunięć i grupę skalowania zmiennej zależnej(Data obrony: 2010-07-05) Błach, Krzysztof
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Thesis, Access status: Restricted , Symetrie i całkowalność równania Riccatiego(Data obrony: 2013-07-09) Kurpiel, Łukasz
Wydział Matematyki StosowanejItem type:Doctoral Dissertation, Access status: Open Access , Zastosowania i własności nawiasu Poissona pary wielomianów(2025) (Data obrony: 2026-03-06) Holik, Daria
Wydział Matematyki StosowanejThe subject of the dissertation is the Poisson bracket of a pair of polynomials, which can be understood as the following sum $[f, g] = \sum_{l \leq i < j \leq n} \left( \frac{\partial f} {\partial x_i} \frac{\partial g} {\partial xj}- \frac{\partial f}{\partial xj} \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)[x_i, xj]. $ In order to provide a formal definition of the considered Poisson bracket, the construction of a free Poisson algebra on a free set of generators is presented. In this dissertation, we briefly deal with basic properties of the Poisson bracket of a pair of polynomials, but the main emphasis is placed on its applications. The inspiration for considering this object were results of Nowicki and Pritchard and the theory of Shestakov--Umirbaev, in which the degree of the Poisson bracket of a pair of polynomials plays an essential role, as well as considerations regarding the study of the multidegrees of polynomial automorphisms of the space $k^3.$ Using these properties, we give a complete description of the set of all the solutions of the equation $[L_l^r,P_l]=::[P_2,L_2^s]$ for given linear forms $L_1, L_2 \in k[x_l, \dots, x_n]$ and $r, s \in~\mathbb{N}_+$. An important aspect from the point of view of applications of the Poisson bracket is to provide explicit formulas for the homogeneous components of the polynomial $G$ using homogeneous components of polynomial $F$, under the assumption that the degree of the Poisson bracket of the pair $F, G$ is sufficiently low. We also present relationships between the homogeneous components of degrees $\deg F - 1$ and $\deg F - 2$ of the polynomial $F$, as well as certain results concerning the divisibility of the homogeneous component of degree $\deg F -1$ by a certain polynomial associated with the leading forms of the polynomials F and G. Another important aspect is the application of the Poisson bracket in the study of multidegrees of polynomial automorphisms. In this context, we focus on the issue of the existence of a hypothetical tame automorphism with multidegree $(7, 8,12),$ which is related to the possible truth of the so-called $p$-hypothesis for $p=7.$ We also prove that the $p$-hypothesis is not true when $p$ is a composite number.