Zastosowania i własności nawiasu Poissona pary wielomianów

Abstract

The subject of the dissertation is the Poisson bracket of a pair of polynomials, which can be understood as the following sum $[f, g] = \sum_{l \leq i < j \leq n} \left( \frac{\partial f} {\partial x_i} \frac{\partial g} {\partial xj}- \frac{\partial f}{\partial xj} \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)[x_i, xj]. $ In order to provide a formal definition of the considered Poisson bracket, the construction of a free Poisson algebra on a free set of generators is presented. In this dissertation, we briefly deal with basic properties of the Poisson bracket of a pair of polynomials, but the main emphasis is placed on its applications. The inspiration for considering this object were results of Nowicki and Pritchard and the theory of Shestakov--Umirbaev, in which the degree of the Poisson bracket of a pair of polynomials plays an essential role, as well as considerations regarding the study of the multidegrees of polynomial automorphisms of the space $k^3.$ Using these properties, we give a complete description of the set of all the solutions of the equation $[L_l^r,P_l]=::[P_2,L_2^s]$ for given linear forms $L_1, L_2 \in k[x_l, \dots, x_n]$ and $r, s \in~\mathbb{N}_+$. An important aspect from the point of view of applications of the Poisson bracket is to provide explicit formulas for the homogeneous components of the polynomial $G$ using homogeneous components of polynomial $F$, under the assumption that the degree of the Poisson bracket of the pair $F, G$ is sufficiently low. We also present relationships between the homogeneous components of degrees $\deg F - 1$ and $\deg F - 2$ of the polynomial $F$, as well as certain results concerning the divisibility of the homogeneous component of degree $\deg F -1$ by a certain polynomial associated with the leading forms of the polynomials F and G. Another important aspect is the application of the Poisson bracket in the study of multidegrees of polynomial automorphisms. In this context, we focus on the issue of the existence of a hypothetical tame automorphism with multidegree $(7, 8,12),$ which is related to the possible truth of the so-called $p$-hypothesis for $p=7.$ We also prove that the $p$-hypothesis is not true when $p$ is a composite number. Przedmiotem rozprawy jest nawias Poissona pary wielomianów, który może być rozumiany jako następująca suma $[f, g] = \sum_{l \leq i < j \leq n} \left( \frac{\partial f} {\partial x_i} \frac{\partial g} {\partial xj}- \frac{\partial f}{\partial xj} \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)[x_i, xj]$. W celu podania formalnej definicji rozważanego nawiasu Poissona, przedstawiona została również konstrukcja wolnej algebry Poissona o wolnym zbiorze generatorów. W niniejszej dysertacji zajmujemy się pokrótce podstawowymi własnościami nawiasu Poissona pary wielomianów, ale główny nacisk jest położony na jego zastosowania. Inspiracją do rozważań nad tym obiektem były prace Nowickiego i Pritcharda oraz teoria Shestakova-Umirbaeva, w której istotną rolę odgrywa stopień nawiasu Poissona pary wielomianów, a także rozważania dotyczące badania wielostopni automorfizmów wielomianowych przestrzeni $k^3.$ Wykorzystując przedstawione własności podajemy pełny opis zbioru rozwiązań równania $[L_l^r,P_l]=[P_2,L_2^s]$ dla danych form liniowych $L_1, L_2 \in k[x_l, \ldots, x_n]$oraz $r, s \in \mathbb{N}_+.$ Ważnym z punktu widzenia zastosowań nawiasu Poissona jest podanie jawnych wzorów na składowe jednorodne wielomianu $G$ przy pomocy składowych jednorodnych wielomianu $F$ przy założeniu, że stopień nawiasu Poissona pary $F, G$ jest odpowiednio niski. Prezentujemy również relację pomiędzy składowymi jednorodnymi stopni $\deg F-l$ oraz $\deg F-2$ wielomianu $F,$ jak i pewne wyniki dotyczące podzielności składowej jednorodnej stopnia $\deg F-l$ przez pewien wielomian związany z formami wiodącymi wielomianów $F$ i $G.$ Kolejnym ważnym aspektem, jest zastosowanie nawiasu Poissona w badaniu wielostopni automorfizmów wielomianowych. W tym kontekście, uwagę poświęciliśmy kwestii istnienia hipotetycznego automorfizmu typu tame o wielostopniu $(7,8,12),$ co związane jest z ewentualną prawdziwością tak zwanej $p$-hipotezy dla $p=7.$ Dowodzimy również, że $p$- hipoteza nie jest prawdziwa, gdy $p$ jest liczbą złożoną.