Browsing by Subject "numerical integration"

Now showing 1 - 6 of 6

Access status: Open Access ,
A note on a family of quadrature formulas and some applications
(2008) Bożek, Bogusław; Solak, Wiesław; Szydełko, Zbigniew
In this paper a construction of a one-parameter family of quadrature formulas is presented. This family contains the classical quadrature formulas: trapezoidal rule, mid-point rule and two-point Gauss rule. One can prove that for any continuous function there exists a parameter for which the value of quadrature formula is equal to the integral. Some applications of this family to the construction of cubature formulas, numerical solution of ordinary differential equations and integral equations are presented.
Access status: Open Access ,
Gauss quadrature evaluation for the signal analysis
(Wydawnictwa AGH, 2011) Brzeziński, Dariusz
Częścią przetwarzania sygnału jest zamiana sygnału zdefiniowanego w dziedzinie czasu na sygnał zdefiniowany w dziedzinie częstotliwości. Pozwala to na uzyskanie widma sygnału oraz jego ewentualną wizualizację. Zamiany tej możemy dokonać m.in. za pomocą rozwinięcia funkcji ciągłej lub dyskretnej w szereg Fouriera. Do konstrukcji szeregu Fouriera konieczne jest obliczanie jego współczynników. Można je obliczyć za pomocą całkowania numerycznego - za pomocą kwadratur. Niniejszy artykuł zawiera analizę dokładności obliczania współczynników szeregu Fouriera pięciu podstawowych, deterministycznych sygnałów wziętych z praktycznych zastosowań. Charakterystyki tych sygnałów stanowią wyzwanie dla dwóch, diametralnie różnych metod całkowania numerycznego: zmodyfikowanej metody prostokątów oraz kwadratury Gaussa-Legendre'a. Punktem odniesienia, jeśli chodzi o dokładność, były wyniki uzyskane za pomocą FFT. Dekompozycja elementarnych sygnałów oraz analiza błędów obliczania współczynników szeregu Fouriera miała pozwolić autorowi na znalezienie typowych kształtów sygnałów występujących w rzeczywistym świecie, do których zastosowanie kwadratur Gaussa może być lepszym rozwiązaniem ze względu na większą dokładność obliczeń oraz mniejszą złożoność obliczeniową (zmniejszona liczba miejsc próbkowania) jak FFT.
Access status: Open Access ,
Numerical evaluation of variable - fractional-order derivatives
(Wydawnictwo AGH, 2011) Ostalczyk, Piotr; Brzeziński, Dariusz
Tematem niniejszego artykułu są numeryczne metody obliczania pochodno-całek ułamkowych rzędów (FOD/FOI), które mogą być również użyte do obliczania wartości klasycznych pochodnych i całek oznaczonych całkowitych rzędów. Główny temat niniejszej pracy to metoda Reimanna-Liouvilla. By ją móc stosować, konieczne są narzędzia w postaci programów całkujących numerycznie. Do testów wybrana została funkcja często używana w zastosowaniach technicznych. Rzędy obliczanych pochodno-całek były zmienne, wyznaczone przez funkcję zmienną w czasie. Celem autorów było stwierdzenie, które z metod całkowania numerycznego - wybrane kwadratury Newtona-Cotesa czy wybrane kwadratury Gaussa - pozwolą na uzyskanie obliczanych wartości z najmniejszym błędem bezwzględnym stosując jak najmniejszą ilość punktów próbkowania (które mogą być kosztowne). Punktem odniesienia były wartości błędów uzyskane za pomocą popularnej w zastosowaniach technicznych metody Grunwalda-Letnikova.
Access status: Open Access ,
On some quadrature rules with Gregory end corrections
(2009) Bożek, Bogusław; Solak, Wiesław; Szydełko, Zbigniew
How can one compute the sum of an infinite series $s := a_1 + a_2 + \ldots$? If the series converges fast, i.e., if the term $a_{n}$ tends to $0$ fast, then we can use the known bounds on this convergence to estimate the desired sum by a finite sum $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$. However, the series often converges slowly. This is the case, e.g., for the series $a_n = n^{-t}$ that defines the Riemann zeta-function. In such cases, to compute $s$ with a reasonable accuracy, we need unrealistically large values $n$, and thus, a large amount of computation. Usually, the $n$-th term of the series can be obtained by applying a smooth function $f(x)$ to the value $n$: $a_n = f(n)$. In such situations, we can get more accurate estimates if instead of using the upper bounds on the remainder infinite sum $R = f(n + 1) + f(n + 2) + \ldots$, we approximate this remainder by the corresponding integral $I$ of $f(x)$ (from $x = n + 1$ to infinity), and find good bounds on the difference $I - R$. First, we derive sixth order quadrature formulas for functions whose 6th derivative is either always positive or always negative and then we use these quadrature formulas to get good bounds on $I - R$, and thus good approximations for the sum $s$ of the infinite series. Several examples (including the Riemann zeta-function) show the efficiency of this new method. This paper continues the results from [W. Solak, Z. Szydełko, <i>Quadrature rules with Gregory-Laplace end corrections</i>, Journal of Computational and Applied Mathematics 36 (1991), 251–253] and [W. Solak, <i>A remark on power series estimation via boundary corrections with parameter</i>, Opuscula Mathematica 19 (1999), 75–80].
Access status: Restricted ,
Porównanie efektywności kwadratur Gaussa oraz Filona przy całkowaniu szybko oscylujących funkcji
(Data obrony: 2019-01-24) Kuchno, Wojciech
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska
Niniejsza praca traktuje o efektywności dwóch metod całkowania numerycznego funkcji szybko oscylujących. Są to: kwadratura Gaussa i kwadratura Filona. Praca zawiera porównanie efektywności obu metod, a także ich implementacje. Oprócz tego pokazane zostało, jak zwiększa się efektywność kwadratury Filona, przy zwiększającej się liczbie punktów, dzielących przedział całkowania. Została również porównana efektywność obu metod, gdy ilość punktów, dzielących przedział całkowania, jest taka sama.
Access status: Restricted ,
Rozwiązywanie równań Fredholma II-go rodzaju metodą sum skończonych
(Data obrony: 2017-01-24) Rybski, Kamil
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska
Celem przedstawionej pracy dyplomowej było numeryczne rozwiązanie równania całkowego Fredholma II-go rodzaju metodą sum skończonych. Pierwsza część pracy składa się z części teoretycznej, w której wyjaśniono czym jest równanie całkowe oraz sklasyfikowano je według trzech kryteriów. Szczególny nacisk położono na opis procedury numerycznej wykorzystanej przy obliczania równania całkowego. Druga część pracy, aplikacyjna, zawiera wyniki przeprowadzonych obliczeń numerycznych. Postanowiono sprawdzić poprawność zaimplementowanej metody przy wyborze różnych algorytmów całkowania numerycznego (prostokątów, trapezów, Simposona) w zależności od liczby próbek. Ostatnia część pracy zawiera wnioski oraz krótkie podsumowanie z wykonanej pracy.