Pewne typy rozwiązań ewolucyjnych modeli nieliniowych

Abstract

Rozprawa poświęcona jest rozwiązaniom równań ewolucyjnych, nie będących równaniami zupełnie całkowalnymi. W tym przypadku standardowe metody mają znikome zastosowanie. Opierając się na hiperbolicznym uogólnieniu równania Burgersa oraz na pewnych układach, mających zastosowanie w dynamice płynów pokazujemy skuteczność kombinacji znanych metod. Głównie skupiamy się na znalezieniu rozwiązań dokładnych (przy użyciu np. podstawienia Hiroty, metody ansatzów bezpośrednich), ale również poszukujemy rozwiązań przybliżonych wspierając się na analizie jakościowej. Dodatkowo za pomocą analizy jakościowej udowadniamy istnienie rozwiązań homoklinicznych w badanych układach. Znanym źródłem rozwiązań dokładnych są symetrie klasyczne. W przypadku uogólnionego równania Burgersa za ich pomocą udaje się znaleźć wyłącznie trywialną redukcję do fali biegnącej. Stosujemy więc bardziej plastyczną metodę symetrii warunkowych, która daje interesujące wyniki. Dla tego równania znajdujemy również pewną analogię do transformacji typu Backlunda, pozwalającą otrzymywać nowe rozwiązania z tych już znanych. Praca zakończona jest przeglądem otwartych problemów i obszerną bibliografią.