Złożoność obliczeniowa całkowania stochastycznego w sensie Itô

Abstract

In the thesis we study the computational complexity of the stochastic Itô integration. We first investigate the optimal approximation of Itô integrals when linear information about the Wiener process B, consisting of certain Riemann integrals of its trajectories, is available. We show upper and lower bounds on the complexity which, in some cases, turn out to be optimal. Obtained results indicates that algorithms which use integral information are more efficient than algorithms which use only discrete values of the Wiener process B. In the second part of the thesis we deal with the numerical approximation of stochastic Itô integrals of regular and singular deterministic functions $f:[0,T]->R$. In the regular case we show that the nonadaptive Ito-Taylor algorithm is optimal. In the singular case we show that any nonadaptive algorithm cannot efficiently handle such a problem, even in the case of a single singularity. Hence, in the case of a single singularity, we construct an adaptive Itô-Taylor algorithm which has the optimal error known from the regular case. Next, we consider the case of multiple singularities and we show that even adaptive algorithms cannot preserve the optimal rate of convergence known from the regular case. We show that also in the asymptotic setting nonadaptive algorithms cannot preserve the optimal error known from the regular case.

W rozprawie badamy złożoność obliczeniową całkowania stochastycznego w sensie Itô. W pierwszej części rozprawy zajmujemy się zadaniem optymalnej aproksymacji całki Itô , w przypadku gdy o procesie Wienera B jest dostępna informacja liniowa, dana za pomocą całek Riemanna trajektorii procesu B. Pokazujemy ograniczenia z góry i z dołu na złożoność, które w pewnym szczególnym przypadku są ograniczeniami optymalnymi. Z uzyskanych rezultatów wynika, że algorytmy oparte na informacji całkowej są bardziej efektywne od algorytmów wykorzystujących tylko wartości procesu Wienera w punktach dyskretyzacji. W drugiej części rozprawy rozpatrujemy problem aproksymacji całki Itô funkcji deterministycznych $f:[0,T]- >R$, które mogą posiadać w $[0,T]$ nieznane osobliwości. Pokazujemy, że w przypadku regularnym optymalnym algorytmem jest nieadaptacyjny algorytm Itô-Taylora. W przypadku osobliwym udowodniamy ograniczenia z dołu na błąd dowolnego algorytmu nieadaptacyjnego i pokazujemy, żaden taki algorytm nie może zachować optymalnego błędu z przypadku regularnego. W przypadku jednej osobliwości definiujemy adaptacyjny algorytm Itô-Taylora, który aproksymuje rozważaną całkę Itô i zachowuje optymalny błąd z przypadku bez osobliwości. Rozważamy również przypadek z wieloma osobliwościami, w którym okazuje się, że nawet algorytmy adaptacyjne nie mogą zachować optymalnego błędu z przypadku regularnego. Ponadto dowodzimy, że także w modelu asymptotycznym algorytmy nieadaptacyjne nie mogą mieć optymalnego błędu takiego jak w przypadku regularnym.