Metody resamplingu dla procesów punktowych

Abstract

Theory of point processes is used for modelling the phenomena of random location of points in some space. Examples of such points are epicenters of earthquakes, location of foxholes in a wood or times of arrivals in a call center. Statistical analysis of such processes is based on some notion of repeatability, usually provided by the assumptions of stationarity. Unfortunately, in many situations the stationarity assumption is not valid. In this work an example of a nonstationary counting process that can be described by the periodic multiplicative intensity model is considered. Such process was chosen because in many applications we encounter phenomena that are periodic in time. These are: the intensity of births during a year, daily car traffic, the number of sales during a year or the network traffic intensity. Known resampling techniques cannot be directly applied in these situations. The reason is that they work well only for the stationary case where sampling blocks and changing their relative positions in the whole sample produces consistent results. The thesis solves this problem via introducing a novel bootstrap technique that respects the temporal order and does not destroy the dependence structure of the data. New bootstrap method is applied to three different estimators of the periodic hazard function. It is shown that the consistent results are obtained in one and multidimensional case. Finally, the bootstrap pointwise and simultaneous confidence intervals are constructed. Their actual coverage probabilities are close to nominal ones independently of the the shape of the considered function. Additionally, the asymptotic simultaneous confidence intervals are hard to calculate and using bootstrap methods seems to be a good alternative. The integrated hazard function case is also considered. The advantages of the proposed 4 Abstract bootstrap simultaneous confidence bands over the asymptotic ones are discussed. Our results are illustrated by an extensive simulation study and analysis of applications based on real data. Teoria procesów punktowych wykorzystywana jest do modelowania zjawisk związanych z losowym rozmieszczeniem punktów w pewnej przestrzeni. Punktami mogą być np. epicentra trzęsień ziemi, usytuowanie nor lisich w lesie, bądź czasy kolejnych zgłoszeń do centrali telefonicznej. Statystyczna analiza takich procesów oparta jest na koncepcji pewnej powtarzalności, uosabianej najczęściej poprzez założenie stacjonarności. Niestety, założenie to nie jest spełnione w wielu rzeczywistych sytuacjach. Rozprawa poświęcona będzie niestacjonarnym procesom liczącym, których funkcje intensywności można opisać okresowym modelem multiplikatywnej intensywności. Są one niezwykle istotne, gdyż wiele zjawisk okazuje się być okresowymi w czasie. Dzieje się tak na przykład w przypadku intensywności liczby urodzin w ciągu roku, dziennego natężenia ruchu ulicznego, wielkości sprzedaży w ciągu roku oraz intensywności ruchu w sieci komputerowej. Znane metody resamplingu dla procesów liczących nie mogą być bezpośrednio zastosowane w wyżej opisanych przypadkach. Dowody zgodności tych technik udało się uzyskać tylko przy założeniu stacjonarności. W pracy zaproponowana została nowa metoda bootstrap, która uwzględnia okresowość i nie niszczy struktury zależności danych. Została wykorzystana do konstrukcji bootstrapowych wersji trzech rożnych estymatorów okresowej funkcji hazardu. Pokazana została jej zgodność zarówno w przypadkach jedno jak i wielowymiarowych. Uzyskane rezultaty posłużyły do konstrukcji bootstrapowych punktowych oraz jednoczesnych przedziałów ufności. Okazało się, że rzeczywiste prawdopodobieństwa pokrycia tych obszarów są bliskie przyjętym poziomom nominalnym niezależnie od kształtu rozważanej funkcji hazardu. Ponadto wyznaczenie kwantyli niezbędnych do obliczenia obszarów asymptotycznych jest trudne, zatem bootstrap jest rozsądną alternatywą w tej sytuacji. W pracy bada się też funkcję skumulowanego hazardu. Również w tym przypadku za- 2 Streszczenie proponowane w rozprawie bootstrapowe jednoczesne obszary ufności mają przewagę nad asymptotycznymi. Ponadto rezultaty zostały wzbogacone o wyniki badań symulacyjnych i przykłady danych rzeczywistych.