Metody resamplingowe w dziedzinie czasu dla niestacjonarnych szeregów czasowych o strukturze okresowej i prawie okresowej

Abstract

The main objective of the thesis is to establish conditions for consistency of resampling methods in the area of alpha-mixing time series with periodic and almost periodic structure. This kind of nonstationary data are gathered in many areas such as climatology, economy or telecommunications. For (almost) periodic time series statistical inference regarding e.g. autocovariance function is based on its Fourier representation. This thesis considers four types of resampling techniques, known in the literature. The focus here is to investigate these techniques in the general almost periodic setup. The first procedure is called subsampling. It consists inrecalculating estimator over every possible subseries of some length. It is shown that the estimator of Fourier coefficient needs some modification for the subsampling to be consistent. The second method is moving block bootstrap. For this method sample mean is the starting point. Then some corollaries are evaluated. They regard multivariate case, smooth functions of the mean and estimators of Fourier coefficients. The two remaining procedures are seasonal block bootstrap and periodic block bootstrap. In order to apply them one needs to know the exact length of the period. The first of the two aforementioned methods is consistent under general assumptions similar to moving block bootstrap context. The other is shown to work only in the case of triangular random arrays with the period increasing row-wise.

Głównym celem rozprawy jest zbadanie warunków zgodności metod resamplingowych w dziedzinie czasu dla alpha-mieszających szeregów czasowych o szczególnym rodzaju niestacjonarności - tzn. o strukturze okresowej i prawie okresowej. Takie dane pojawiają się naturalnie w wielu dziedzinach, przykładowo w klimatologii, ekonomii i telekomunikacji. Zakładając, że rozpatrywany proces ma strukturę (prawie) okresową, problemy wnioskowania statystycznego o np. funkcji autokowariancji możemy sprowadzić do wnioskowania o współczynnikach Fouriera funkcji prawie okresowej. W pracy zbadano cztery możliwe sposoby resamplingowania. Sposoby te znane są z literatury, ale wcześniej nie były stosowane w ogóle do danych (prawie) okresowych, albo jedynie do bardzo wąskich modeli. Pierwsza procedura zwana subsamplingiem polega na wyborze wszystkich możliwych podszeregów o pewnej długości i~przeliczeniu estymatora na tych podszeregach. Okazało się, że potrzebna jest pewna modyfikacja estymatora współczynników Fouriera, aby zachodziła zgodność. Drugą badaną procedurą jest bootstrap bloków ruchomych. W tym przypadku punkt wyjścia stanowi średnia próbkowa. Sformułowano także wnioski dotyczące zgodności dla przypadku wielowymiarowego, gładkich funkcji średniej oraz estymatorów współczynników Fouriera. Ostatnie dwie badane procedury, bootstrap bloków sezonowych i okresowych, wymagają znajomości długości bloku. Pierwsza z nich jest zgodna w równie uniwersalnych sytuacjach jak bootstrap bloków ruchomych. W pracy udowodniono, że druga z tych metod działa dobrze tylko w przypadku tablic zmiennych losowych, dla których długość okresu rośnie wraz z numerem wiersza.