Komutatory dyfeomorfizmów klasy $C^{r}$

Abstract

The aim of that dissertation is to prove that some compact diffeo-morphism groups on a foliated manifold and on a manifold with corners are perfect. The main idea is to use modifications of the Mather-Epstein method. The paper has four chapters. The first includes basie notions and properties which are essential in the proof. It contains facts about moduli of continuity and seminorms in funetion spaces on a standard manifold. In the rest of the chapter one can find theorems about topological properties of diffeomorphism groups on $\mathbb{R}$. In the second chapter the notion of a $C^{r,s}$, -mapping is introduced and some properties of such mappings are shown. Next, estimations of seminorms are reformulated into the case of manifold $\mathbb{R}^{n}, \mathbb{F}_{k}$, where $\mathbb{F}_{k}$ means the product foliation. Let $\mathbb{R, F}$ be a foliated manifold and let $Diff^{r, s} (\mathbb{M, F)}$ be the group of $C^{r,s}$ -diffeomorphisms on $\mathbb{M, F}$ acting along leaves and diffeotopic to the Id through $C^{r,s}$ -diffeotopies with compact supports. It is shown in the paper that it is a topological group. Moreover, the fragmenta-tion property in the case of foliated mauifold is proved. The proof of the main theorem is presented in chapter three. The main construetion has a few steps. The most important are rolling-up operator and Mather's operator. Ali maps in considerations agree with the foliation structure. Using this construetion and Schauder-Tichonoff fixed point theorem it is shown that the group $Diff^{r, s} (\mathbb{M, F)}$ is perfect whenever r is finite, $r \neq n + 1$, where dim $M = n$. At the end of the chapter there are remarks about the case $r = n + 1$ which is still open. It also contains the description how the perfectness of a diffeomorphism group on a foliated manifold is connected with the perfectness of an analogical group on a standard manifold. The last chapter includes considerations about the perfectness of the identity component of the compact $C^{\infty}$-diffeomorphism group $Diff^{\infty}(\mathbb{M})$ on a manifold with corners. It is assumed that the manifold has no vertices. First, there are presented basic notions about a manifold with corners and preliminary properties. Next, one can find the construction of Mather's operator with using Epstein method. Mather's operator may be used along edges of the manifold only. Hence it is introduced another method called bump decomposition. The main proof use both of them. It is ałso used Schauder-Tichonoff fixed point theorem. In the last section there are remarks about the case of a manifold with corners which has vertices. It is shown that the group $Diff^{\infty}(\mathbb{M})$ on such manifold is not perfect.

Celem pracy jest przedstawienie dowodów doskonałości pewnych grup dyfeomorfizmów o zwartych nośnikach dla przypadku rozmaitości z foliacją oraz rozmaitości z narożami. Kluczowe znaczenie odgrywa tutaj wykorzystanie modyfikacji metody Mathera-Epsteina. Praca składa się z czterech rozdziałów. Pierwszy zawiera podstawowe pojęcia i własności wykorzystywane w rozważanym problemie. Przedstawiono fakty dotyczące modułów ciągłości oraz seminorm w przestrzeniach odwzorowań na zwykłej rozmaitości. Osobny podrozdział zawiera twierdzenia o pewnych własnościach topologicznych grup dyfeomorfizmów na $\mathbb{R}$. W rozdziale drugim wprowadzone zostało pojęcie odwzorowań klasy $C^{r,s}$, a także zaprezentowano ich podstawowe własności. Umożliwiło to przeformułowanie przedstawionych wcześniej oszacowań seminorm na przypadek rozmaitości $\mathbb{R}^{n}, \mathbb{F}_{k}$, gdzie $\mathbb{F}_{k}={\mathbb{R}^{k} \times {Pt}}$ oznacza foliację produktową. Niech $\mathbb{R, F}$ będzie rozmaitością z foliacją i niech $Diff^{r, s} (\mathbb{M, F)}$ będzie grupą dyfeomorfizmów klasy $C^{r,s}$ na $\mathbb{M, F}$ działających wzdłuż liści i dyfeotopijnych z Id przez $C^{r,s}$ -dyfeotopie o zwartych nośnikach. W głównej części rozdziału drugiego przedstawiono dowód, że grupa $Diff^{r, s} (\mathbb{M, F)}$ wyposażona w $C^{r,s}$-topologię Whitney'a jest grupą topologiczną. Ponadto udowodniona została własność fragmentacji dla rozmaitości z foliacją. Rozdział trzeci opisuje dowód twierdzenia o doskonałości grupy $Diff^{r, s} (\mathbb{M, F)}$ dla $r$ skończonego, $r \neq n + 1$, gdzie $n$ jest wymiarem rozmaitości. Używając faktów opisanych wcześniej dowód zostaje sprowadzony do przypadku $\mathbb{M=R}^{n}$. Następnie przedstawiono główną część rozumowania. Składa się ona z kilku etapów, z których najważniejszymi są konstrukcja operatora zwijania i operatora Mathera. Zauważyć należy, że wszystkie użyte odwzorowania są zgodne ze strukturą foliacji. Przeprowadzona konstrukcja umożliwia użycie twierdzenia Schaudera-Tichonowa o punkcie stałym i w efekcie uzyskanie tezy twierdzenia. Na końcu rozdziału trzeciego podane zostały uwagi dotyczące przypadku $r = n+1$. Problem ten jest nadal otwarty. W szczególności po¬dany został związek doskonałości grup dyfeomorfizmów na rozmaitości z foliacją z doskonałością takiej grupy na zwykłej rozmaitości, gdzie przypadek $r = n + 1$ również nie został rozwiązany. Czwarty rozdział pracy jest poświęcony zagadnieniu doskonałości składowej spójnej identyczności grupy $C^{\infty}$-dyfeomorfizmów o zwartych nośnikach na rozmaitości z narożami. W dowodzie przyjęto założenie, że rozmaitość nie ma wierzchołków. Przypomniane zostały podstawowe definicje dotyczące rozmaitości z narożami i opisano własności potrzebne do dalszej części rozumowania. Następnie, opierając się na dowodzie Epsteina, przeprowadzono konstrukcję operatora Mathera. Operator ten może być użyty jedynie wzdłuż krawędzi rozmaitości. Stąd przedstawiona została dodatkowo inna metoda nazywana rozkładem regularnym. Dowód głównego twierdzenia wykorzystuje oba rozwiązania. Podobnie jak wcześniej ważne jest odwołanie się do twierdzenia Schaudera-Tichonowa o punkcie stałym. Ostatni podrozdział dotyczy przypadku rozmaitości z narożami, która ma wierzchołki. Podane zostały argumenty, że wówczas rozważana grupa nie jest doskonała.