Odwrotny problem Radona dla funkcji holomorficznych

Abstract

Przedmiotem rozprawy jest odwrotny problem Radona dla funkcji holomorficznych na pewnych obszarach z jedno- i wielowymiarowej przestrzeni zespolonej. Jest to problem rekonstrukcji funkcji holomorficznej na podstawie wartości całki z tej funkcji po zadanym podzbiorze jej dziedziny. Celem rozprawy jest zbadanie rozwiązywalności odwrotnego problemu Radona w pełnej wersji, tj. we wszystkich punktach brzegowych rozważanych obszarów. W przypadku jednowymiarowym szukamy rozwiązania problemu Radona na dysku jednostkowym zadanego za pomocą całek po jego promieniach oraz krzywych spełniających pewne warunki regularności (np. niestyczność do brzegu). Drugie podejście umożliwia nam przeniesienie problemu Radona na ograniczone obszary jednospójne na płaszczyźnie zespolonej. W przypadku wielowymiarowym rozważamy ograniczone obszary ściśle wypukłe kołowe oraz operator Radona zadany jako całka wzdłuż odcinków z[0,1], gdzie z jest punktem brzegowym tych obszarów. Na koniec dowodzimy rozwiązywalności odwrotnego problemu Radona na polidysku jednostkowym, gdzie całkujemy po krzywych będących iloczynem kartezjańskim wspomnianych krzywych zdefiniowanych na dysku jednostkowym. Rozważanie odwrotnego problemu Radona dostarcza nam narzędzi do rozwiązywania problemów związanych z charakteryzacją zbiorów wyjątkowych, ważnych z punktu widzenia teorii funkcji wielu zmiennych zespolonych. W rozprawie wykorzystujemy ten fakt dla ograniczonych obszarów ściśle wypukłych kołowych. Podajemy również przykłady konstrukcji funkcji analitycznych o rozbieżnym szeregu współczynników Taylora. This dissertation describes the Radon integral operator and the so called Radon inversion problem for holomorphic functions on some bounded domains in one-dimensional and multi-dimensional complex space. In general, the Radon inversion problem is to reconstruct a holomorphic function on the basis of the values of its integrals over some subset of submanifolds of its domain. In one-dimensional case we tend to find a solution to the Radon inversion problem for holomorphic functions on the unit disc. There, the Radon operator is defined as an integral over radii of the disc and curves satisfying some regularity conditions (e.g. non-tangential curves). The second approach allows us to state the Radon inversion problem on bounded simply connected domains in the complex plane. In multi-dimensional case we consider bounded strictly convex circular domains and the Radon operator given by a line integral over the intervals z[0,1] where z belongs to the boundary of the domain. Having solved the problem under consideration on the unit disc, we then show its solvability also on the unit polidisc where the integrals are taken over curves that are the Cartesian product of the curves in the unit disc described above. Solvability of the Radon inversion problem provides significant tools that can be applied in characterizing exceptional sets which are important from the function theory of several complex variables point of view. In the dissertation we use this fact for bounded strictly convex circular domains. In addition, we show some examples of constructions of analytic functions with divergent series of Taylor coefficients.