Improving frequency resolution of discrete spectra

Abstract

Widma dyskretne mogą służyć do pomiaru częstotliwości składowych sygnałów. Pomiar taki polega na zamianie sygnału wejściowego na postać cyfrową, poddaniu próbek sygnału procesowi okienkowania oraz wyznaczeniu ich widma dyskretnego, najczęściej za pomocą algorytmu szybkiej transformacji Fouriera. Częstotliwości poszczególnych składowych sygnału mogą być określone na podstawie ich lokalizacji w module widma z rozdzielczością zależną od liczby próbek wziętych do jego wyznaczenia, która z reguły jest ograniczona czasem potrzebnym na obliczenie widma. Tematem niniejszej rozprawy są algorytmy interpolacji fourierowskich widm dyskretnych umożliwiające poprawę rozdzielczości częstotliwościowej takich pomiarów o kilka rzędów wielkości, zależnie przede wszystkim od użytej metody interpolacji, okienkowania oraz od szumu zawartego w interpolowanym widmie. Autor skupia się na trzech metodach. Wszystkie polegają na dopasowaniu krzywej interpolacyjnej na podstawie trzech węzłów wyznaczonych przez trzy kolejne największe prążki widmowe odpowiadające mierzonemu składnikowi sygnału wejściowego. Odcięta maksimum tej krzywej określa częstotliwość danej składowej sygnału z poprawioną rozdzielczością. Algorytmy interpolacyjne polegają na dopasowaniu paraboli, krzywej gaussowskiej oraz (tak zwanej w pracy) potęgowanej paraboli i dla powszechnie używanych okien umożliwiają poprawę rozdzielczości odpowiednio, o około rząd, dwa i cztery rzędy wielkości. Zakłada się, że mierzona częstotliwość jest stała podczas próbkowania sygnału, oraz że odpowiadający jej prążek może być znaleziony w widmie dyskretnym. Praca zawiera opis zależności efektywności algorytmów od użytego okna, szumu obecnego w widmie, interferencji od niepożądanych silnych składowych sygnału wejściowego oraz jego wykładniczego tłumienia. Bezpośrednim zastosowaniem opisywanych algorytmów są systemy do pomiaru częstotliwości oscylacji betatronowych wiązek cząstek elementarnych wielkich energii. Obecnie są one używane w takich systemach w Europejskiej Organizacji Badań Jądrowych (CERN) w Genewie. Wydaje się, że opisane w rozprawie algorytmy mogą także znaleźć zastosowanie w systemach oraz technikach do laboratoryjnego i przemysłowego pomiaru częstotliwości sygnałów o ograniczonej okresowości, wszędzie tam, gdzie wymaga się pomiarów w czasie rzeczywistym, o dużej rozdzielczości i na podstawie niewielkiej ilości próbek. Discrete spectra can be used to measure frequencies of signal components. Such a measurement consists in digitizing the input signal, performing windowing of the signal samples and computing their discrete Fourier spectrum, usually by means of the Fast Fourier Transform algorithm. Frequencies of individual components can be evaluated from their locations in the discrete spectrum magnitude with resolution depending on the number of processed samples, which is usually limited by the time required for computing the spectrum. The subject of this dissertation is interpolation algorithms of discrete Fourier spectra allowing to increase the frequency resolution of such measurements by a few orders of magnitude, depending first of all the interpolation method, window used and noise present in the spectrum. The author focuses on three methods. All of them consist in fitting an interpolating curve through the three largest consecutive spectrum bins corresponding to the measured component of the input signal. The abscissa of the curve maximum determines the component frequency with improved resolution. The interpolation methods consist in fitting a parabola, a Gaussian curve and (so called in the dissertation) an exponential parabola and, for commonly used windows, allow resolution improvement, typically by one, two and four orders of magnitude, respectively. It is assumed that the measured frequency is constant during the signal sampling and that the corresponding spectral peak can be found in the discrete spectrum. The paper includes a description of the dependence of the algorithm efficiency on windowing used, noise present in the spectrum, interference from undesirable large components and exponential decay of the input signal. A direct application of the interpolation algorithms are systems measuring frequency of betatron oscillations of high energy particle beams. They are used presently in such systems in the European Organization for Particle Physics (CERN), Geneva, Switzerland. It seems that the algorithms presented in this dissertation may be also used in laboratory and industrial systems for frequency measurement of signals of limited periodicity, everywhere where real time, high resolution measurements, based on small sample sets are required.